Introduction to BRDFs
Concept of BRDF
在众多的着色模型中，shading functions都围绕两个变量展开：入射光线的方向与观察方向。由此我们可以给出一个抽象的数学表达式：
\[f_R(\omega_o, \omega_i)\]其中，$\omega_o$与$\omega_i$分别表示观察方向与入射方向和shading point处法线向量的夹角。
在计算机图形学中，我们将这个函数称为双向反射分布函数，简称为BRDF。BRDF的意义在于，对于给定的入射方向，BRDF返回在观察方向上反射的光量。
BRDFs有很多实现方式，而一个好的BRDF需要满足以下要求：
- 在入射方向与反射方向的有效范围内，BRDF始终是一个正函数
- 满足对称性，当入射方向与观察方向交换时，函数返回的结果不变
- 满足能量守恒定律，即反射光线的能量小于等于入射光线的能量
Radiometry
在计算机图形学中，辐射度量学通常用于描述和模拟光线的物理行为，为真实感图形渲染（如全局光照和路径追踪）提供理论基础。在深度理解BRDF之前，我们有必要先了解一些辐射度量学中的术语。
首先，光可以被看作是在空间中传播、携带能量的一系列光子的集合。当我们讨论一个物体所发出的光的总量时，实际上所考虑的是该物体所发出的光子的数量。而在计算机图形学中，有关于光的物理量中，我们最常关注的就是光的能量，具体来说，是物体表面所接收的光量与反射的光量。
用于表示光的能量的物理量为Flux光通量，单位为瓦特，记作$W$。flux光通量定义了单位时间内通过一个给定表面的光子数量。
实际上我们可以将物体的某些材质属性，例如颜色与亮度，视为反射光通量与入射光通量之间的比例的体现。在现实世界中，物体材质属性在其表面上通常会有所不同。准确地来说，物体外观在其表面的空间上是可变的。大理石板是一个很好的例子：
既然物体外观在其整个表面上是变化的，当我们要计算这样一块大理石所反射与接收的光通量时，我们需要对光通量这一概念建立更微观的理解：我们只考虑表面上单一一“点”上的光通量。但在现实世界中，我们无法定义这样一个所谓的“单一的点”，所以不妨转而考虑一个点周围非常小的区域——小到在该区域的面积上，物体表面具有一致的材质属性。或者说，在该小区域上，光通量不足以产生变化。我们将这个很小的面积区域称为differential area，记作$dA$。如下图所示：
当我们以differential area为前提进行讨论时，我们就可以引入irradiance辐照度这个物理量了，它表示单位面积上所接收到的光的总能量，单位为瓦特每平方米（$W/m^2$）。
绝大多数物体的材质都具有与视角相关的这一性质，即给定表面上一点，反射的光量会随着视角的变化而变化。但是我们从irradiance的定义上可以看出，irradiance本身并没有考虑任何与视角相关的行为，所以我们需要引入一个新的物理量，radiance辐照亮度，它表示光在特定方向上通过单位面积的光量，单位为瓦特每平方米每立体角（$W\cdot m^{-2}\cdot sr^{-1}$）。
现在，我们不妨梳理一下目前所引入的三个物理量各自的表示方式及其单位：
- Flux光通量，记作$\phi$，单位为$W$
- Irradiance辐照度，记作$E$，单位为$W\cdot m^{-2}$
- Radiance辐照亮度，记作$L$，单位为$W\cdot m^{-2}\cdot sr^{-1}$
Radiometry Equations
我们在前面提到过，点是一个抽象的概念，在现实世界中上并不存在，正因如此，我们将表面上一点定义为该点周围的一个非常小的区域$dA$。类似的，我们将方向描述为围绕该方向的一个角度非常之小的圆锥体，并将这个角度称为differential solid angle，记作$d\omega$。如下图所示：
由此，我们可以重新审视一下irradiance与radiance这两个物理量之间的关系：
irradiance量化了给定一点处的入射光，而radiance则量化了来自特定方向的给定一点处的入射光。这意味着，点$x$的irradiance可以通过对点$x$上表面的法向量所形成的单位半球上的所有方向上的radiance进行积分而得出。进而，如果我们只考虑一个特定方向上的的radiance，而非整个半球，那么我们就可以计算出对应的irradiance的比例，被称为differential irradiance，记作$dE$。
如上图所示，对于给定的radiance（图中表示为穿过圆柱的光通量），differential irradiance的值取决于圆柱的入射角度。例如，当圆柱垂直于表面时，所有穿过圆柱的光子都会到达表面。Lambert Cosine Law所描述的就是这种关系，对应的数学表达式如下：
\[dE=cos(\theta)Ld\omega\]其中，$\theta$表入射角度，$L$表示入射方向上的radiance，$d\omega$表示入射方向上的差分立体角。
那么给定点所在半球上的irradiance就可以表示为半球上关于$dE$的积分：
\[E=\int_{\Omega}dE=\int_{\Omega}cos(\theta)Ld\omega\]鉴于目前为止所引入的物理量，我们现在可以将表面的材质属性定义为入射通量与反射通量之间的比率。这个比率本质上是量化了物体吸收入射光的属性。
现在，我们来尝试在数学上表示来自单一方向的光在到达表面上一点时的这个比率，并将该比率成为reflectance反射率，记作$f_r$：
\[f_r=\frac{dL(\omega_o)}{dE(\omega_i)}=\frac{dL(\omega_o)}{cos(\theta _i)Ld\omega _i}\]这个计算反射率的公式就是我们所说的BRDF，单位为每球面度（$sr^{-1}$）。
最终，为了计算对于给定点在观察方向$\omega_o$上所看到的颜色，即$L(\omega_o)$，我们可以得到这样的数学表达式：
\[L(\omega_o)=\int_{\Omega}f_rdE(\omega_i)=\int_{\Omega}f_rcos(\theta _i)L(\omega_i)d\omega_i\]A BRDF for a Diffuse Surface
简单起见，我们来考虑一个完全漫反射材质的BRDF。在这里，完全漫反射表示该材质会在shading point所在半球的所有方向上均匀地反射光线。这意味着$f_r$是一个常量，所以我们可以将其从积分中提取出来：
\[L(\omega_o)=\int_{\Omega}f_rcos(\theta _i)L(\omega_i)d\omega_i=f_r\int_{\Omega}cos(\theta _i)L(\omega_i)d\omega_i\]我们假设在整个半球上，入射的radiance都是一致的，则有：
\[L(\omega_o)=f_rL(\omega_i)\int_{\Omega}cos(\theta _i)d\omega_i\]这种情况下，上述数学表达式所包含的积分结果为$\pi$，推导过程如下：
\(\begin{equation} \begin{array}{ll} \displaystyle\int_{\Omega^+} \cos(\theta) d\omega & \quad (1) \\ \displaystyle\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\phi=0}^{2\pi} \cos(\theta) \sin(\theta) d\phi d\theta & \quad (2) \\ \displaystyle 2\pi \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \sin(\theta) d\theta & \quad (3) \\ \displaystyle\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\theta) \sin(\theta) d\theta = \left[-\frac{1}{2}\cos^2(\theta)\right]_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} & \quad (4) \\ \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) & \quad (5) \\ \displaystyle\frac{1}{2} \left[ \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos^2(0) \right] = 0 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} & \quad (6) \\ \displaystyle\int_{\Omega} \cos(\theta) d\omega = 2\pi \frac{1}{2} = \pi & \quad (7) \end{array} \end{equation}\) 我们来整理一下我们的结果：对于一个漫反射材质，其BRDF是一个常量$f_r$，被一个常量的radiance辐照亮度$L_{\omega_i}$照射，则在所有方向上的反射radiance为：
\[L(\omega_o)=f_rL(\omega_i)\pi\]基于这个表达式，如果$f_r$与$L(\omega_i)$均为1，则最终得到的反射radiance为$\pi$，这是一个大于1的值，显然与能量守恒定律相悖。由此，对于漫反射表面来说，$f_r$，也就是BRDF需要满足：
\[\text{BRDF diffuse} = \frac{k}{\pi}\]其中，$k$这一项的范围在$[0, 1]$之间，我们通常称其为albedo反照率。
代入到反射radiance的表达式中，我们可知：
\[L(\omega_o)=L(\omega_i)\cdot k\]由此，我们可以将反照率理解为材质的漫反射部分中，物体表面反射光的比率。